将数量场转为向量场

题面

设$\Sigma(t)$ 是平面 $x+y+z=t$ 被球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 截下的部分，设

$$F(x,y,z)=1-(x^2+y^2+z^2),$$

求证，对于$\left| t \right| \leq \sqrt 3$ 时，有

$${\int }_{\mathrm{\Sigma }(t)}F(x,y,z)d\sigma =\frac{\pi }{18}(3-t^2{)}^2$$

方法一

将原坐标系$X Y Z$ 进行变换，新坐标系的 $X'OY'$ 平面为原坐标系的平面 $x+y+z=0$ ，坐标 $z'$ 为点在原坐标系下距离 $\Sigma(0)$ 的距离，$z' = \frac {t}{\sqrt3}$ ， 为了渐变就沿用 $xyz$ 命名好了。接下来就是很普通的在 $z=\frac{t}{\sqrt 3}$ 上将 $xy$ 化为极坐标的积分了。

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\iint }_{z=\frac{t}{\sqrt{3}}}1-z^{2}d\sigma & ={\int }_0^{2\pi }d\theta {\int }_0^{\sqrt{1-\frac{t^2}{3}}}(1-\frac{t^2}{3}-r^2)rdr\\ & =\frac{\pi }{18}(3-t^2{)}^2\end{array}\end{array}$$

方法二

这个方法比较绕，是利用$Gauss$ 定理 + 补面的方式。但是 F 是个数量场，怎么把它变成向量场呢?

$${\iint }_{S}FdS={\iint }_S\mathit{v}\overrightarrow{n}dS$$

所以现在就是需要去确定一种 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{n}$ 使其点乘为 $F$ ， 为了简便 $\overrightarrow{v}=(1-z^2)\overrightarrow{k}$ ，$\overrightarrow{n}=\overrightarrow{k}$， 在进行补面就能使用高斯公式了，设 $V$ 为 $S_1:z=\frac{t}{\sqrt{3}}$ 和球面 $S_2:x^2+y^2+z^2=1$ 围成的面积。

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\iint }_{S_1+S_2}\mathit{v}\overrightarrow{n}dS& ={\iiint }_V\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}d\overrightarrow{S}\\ & ={\iiint }_{V}2zdxdydz\end{array}\end{array}$$

注意因为高斯定理要求向量场指向平面的外侧，上面公式的 $\overrightarrow{v}$ 的方向与的我们构造的$\overrightarrow{v}$ 之间方向相反。

再将$xyz$ 换为极坐标 (注意这里和 $t$ 没什么关系，$t$ 只是个常数)

$$\{\begin{array}{l}x=(1-z^2)rcos\theta \\ y=(1-z^2)rsin\theta \\ z=z\end{array}$$

然后三重积分

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\iiint }_{V}2zdxdydz& =2\pi {\int }_{\frac{t}{\sqrt{3}}}^{1}zdz{\int }_0^{\sqrt{1-z^2}}rdr\\ & =-\frac{\pi }{18}(3-t^2{)}^2\end{array}\end{array}$$

而另一方面

$$\begin{gathered} \because 1-z^2=0\text{in}{S}_2 \\ \therefore {\iint }_{S_2}\mathit{v}\overrightarrow{n}dS=0 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{c}\begin{array}{rl}{\iint }_{S_1}\mathit{v}\overrightarrow{n}dS& ={\iint }_{S_1+S_2}\mathit{v}\overrightarrow{n}dS-{\iint }_{S_2}\mathit{v}\overrightarrow{n}dS\\ & =\frac{\pi }{18}(3-t^2{)}^2\end{array}\end{array}$$