将数量场转为向量场

题面

设$\Sigma(t)$ 是平面 $x+y+z=t$ 被球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 截下的部分，设

\[ F(x,y,z)=1-(x^2+y^2+z^2), \]

求证，对于$\left| t \right| \leq \sqrt 3$ 时，有

\[ \int _{\Sigma(t)} F(x,y,z)\,d\sigma = \frac{\pi}{18} (3-t^2)^2 \]

方法一

将原坐标系$X Y Z$ 进行变换，新坐标系的 $X'OY'$ 平面为原坐标系的平面 $x+y+z=0$ ，坐标 $z'$ 为点在原坐标系下距离 $\Sigma(0)$ 的距离，$z' = \frac {t}{\sqrt3}$ ， 为了渐变就沿用 $xyz$ 命名好了。接下来就是很普通的在 $z=\frac{t}{\sqrt 3}$ 上将 $xy$ 化为极坐标的积分了。

\[ \begin{gather} \begin{aligned} \iint _{z=\frac{t}{\sqrt 3}} 1-z^2\,d\sigma &= \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^{\sqrt {1-\frac{t^2}{3}}}(1-\frac{t^2}{3}-r^2) r\,dr\\ &=\frac{\pi}{18} (3-t^2)^2 \end{aligned} \end{gather} \]

方法二

这个方法比较绕，是利用$Gauss$ 定理 + 补面的方式。但是 F 是个数量场，怎么把它变成向量场呢?

\[ \begin{equation} \iint_S F dS =\iint_S \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS \end{equation} \]

所以现在就是需要去确定一种 \(\vec{v}\) 和 \(\vec{n}\) 使其点乘为 \(F\) ， 为了简便 \(\vec{v} = (1-z^2) \,\vec{k}\) ，\(\vec{n}=\vec{k}\)， 在进行补面就能使用高斯公式了，设 \(V\) 为 \(S_1:z=\frac{t}{\sqrt3}\) 和球面 \(S_2:x^2+y^2+z^2=1\) 围成的面积。

\[ \begin{gather} \begin{aligned} \iint_{S_1+S_2} \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS & = \iiint_V \Delta\,\vec{v} \, d\vec{S}\\ &=\iiint_V2z \, dxdydz \end{aligned} \end{gather} \]

注意因为高斯定理要求向量场指向平面的外侧，上面公式的 \(\vec{v}\) 的方向与的我们构造的\(\vec{v}\) 之间方向相反。

再将\(xyz\) 换为极坐标 (注意这里和 \(t\) 没什么关系，\(t\) 只是个常数)

\[ \begin{cases} x= (1-z^2)\,r\,cos\theta\\ y= (1-z^2)\,r\,sin\theta\\ z=z\\ \end{cases} \]

然后三重积分

\[ \begin{gather} \begin{aligned} \iiint_V2z \, dxdydz &= 2\pi\int_{\frac{t}{\sqrt3}}^1z\,dz\int_0^{\sqrt{1-z^2}}r\,dr\\ & = -\frac{\pi}{18}(3-t^2)^2 \end{aligned} \end{gather} \]

而另一方面

\[ \because 1-z^2 = 0 \,\text{in} \,S_2\\ \therefore \iint_{S_2} \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS = 0\\ \]

\[ \begin{gathered} \begin{aligned} \iint_{S_1} \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS &=\iint_{S_1+S_2} \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS-\iint_{S_2} \boldsymbol{v}\, \vec{n} \,dS \\ &=\frac{\pi}{18}(3-t^2)^2 \end{aligned} \end{gathered} \]